Відеокурс «Отримай п'ятірку» включає всі теми, необхідні для успішного складання ЄДІ з математики на 60-65 балів. Повністю всі завдання 1-13 Профільного ЄДІ з математики. Підходить також для здачі Базового ЄДІ з математики. Якщо ви хочете здати ЄДІ на 90-100 балів, вам треба вирішувати частину 1 за 30 хвилин і без помилок!

Курс підготовки до ЄДІ для 10-11 класів, а також для викладачів. Все необхідне, щоб вирішити частину 1 ЄДІ з математики (перші 12 завдань) та задачу 13 (тригонометрія). А це понад 70 балів на ЄДІ, і без них не обійтись ні стобальнику, ні гуманітарію.

Уся необхідна теорія. Швидкі способи вирішення, пастки та секрети ЄДІ. Розібрано всі актуальні завдання частини 1 із Банку завдань ФІПД. Курс повністю відповідає вимогам ЄДІ-2018.

Курс містить 5 великих тем, по 2,5 години кожна. Кожна тема дається з нуля, це просто і зрозуміло.

Сотні завдань ЄДІ. Текстові завдання та теорія ймовірностей. Прості і легко запам'ятовуються алгоритми розв'язання задач. Геометрія. Теорія, довідковий матеріал, аналіз всіх типів завдань ЄДІ. Стереометрія. Хитрі прийоми розв'язання, корисні шпаргалки, розвиток просторової уяви. Тригонометрія з нуля - до завдання 13. Розуміння замість зубріння. Наочне пояснення складних понять. Алгебра. Коріння, ступеня та логарифми, функція та похідна. База на вирішення складних завдань 2 частини ЄДІ.

Не менше 1 так хоча б 1 елемент відмінний від нуля. Нехай 1 і 2 перетинаються вони мають спільну лінію, вони мають загальну систему, вони не паралельні, а так вони спільні, значить . Нехай 1 та 2 паралельні: , . Якщо декартова система координат, то нормальні вектори. Косинус кута між двома векторами:

Необхідна та достатня умова перпендикулярності двох площин:

Або

20. Різні способи завдання прямої у просторі. Пряма та площина. 2 прямі у просторі. Кут між двома прямими. Зауваження. Пряму у просторі неможливо задати одним рівнянням. Для цього потрібна система двох або більше рівнянь. Перша можливість скласти рівняння прямої у просторі – уявити цю пряму як перетин двох непаралельних площин, заданих рівняннями A 1 x+B 1 y+C 1 z+D 1 = 0 та A 2 x+B 2 y+C 2 z+D 2=0, де коефіцієнти A 1 B 1 C 1і A 2 B 2 C 2не пропорційні: A 1 x+B 1 y+C 1 z+D 1=0; A 2 x+B 2 y+C 2 z+D 2=0.Однак при вирішенні багатьох завдань зручніше користуватися іншими рівняннями прямою, що містять у явній формі деякі її геометричні характеристики.Складемо рівняння прямої, що проходить через точку М 0 (x 0, y 0, z 0) паралельно вектору a = (l, m, n). Визначення.Будь-який ненульовий вектор, паралельний даній прямій, називається її напрямним вектором. Для будь-якої точки М(x, y, z), що лежить на даній прямій, вектор М 0 М = {x - x 0, y - y 0, z - z 0) колінеарен напрямному вектору а . Тому мають місце рівності:

звані канонічними рівняннямипрямий у просторі. Зокрема, якщо потрібно отримати рівняння прямої, що проходить через дві точки: М 1 (х 1, у 1, z 1) та M 2 (x 2 , y 2 , z 2), напрямним вектором такої прямої можна вважати вектор М 1 М 2 = {x 2 – x 1 , y 2 - y 1 , z 2 - z 1), та рівняння (8.11) набувають вигляду:

- рівняння прямої, що проходить через дві дані точки. Якщо ж прийняти кожен із рівних дробів у рівняннях за певний параметр t, можна отримати так звані параметричні рівняння прямої:

. Для того, щоб перейти від рівнянь до канонічних або параметричних рівнянь прямої, потрібно знайти напрямний вектор цієї прямої координати будь-якої точки, що належить їй. Напрямний вектор прямий ортогональний нормалям до обох площин, отже, він колінеарен їх векторному твору. Тому як напрямний вектор можна вибрати [ n 1 n 2 ] або будь-який вектор із пропорційними координатами. Щоб знайти точку, що лежить на даній прямій, можна задати одну її координату довільно, а інші знайти з рівнянь, вибравши їх так, щоб визначник з їх коефіцієнтів не дорівнював нулю.

Кут між прямими. Кут між прямою та площиною.Кут між прямими в просторі дорівнює куту між їх напрямними векторами. Тому, якщо дві прямі задані канонічними рівняннями виду

і
косинус кута між ними можна знайти за формулою:

. Умови паралельності та перпендикулярності прямих теж зводяться до відповідних умов для їх напрямних векторів:

- умова паралельності прямих,

- умова перпендикулярності прямих. Кут φ між прямою, заданою канонічними рівняннями

і площиною, яка визначається загальним рівнянням Ax + By + Cz + D= 0, можна розглядати як додатковий до кута між напрямним вектором прямою і нормаллю до площини. Тоді

Умовою паралельності прямої та площиниє при цьому умова перпендикулярності векторів n і а : Al + Bm + Cn= 0, а умовою перпендикулярності прямої та площини- Умова паралельності цих векторів: A/l = B/m = C/n.

21. канонічне рівняння еліпса. Властивості.називається лінія, яка в деякій декартовій прямокутній системі координат визначається канонічним рівнянням x 2 /a 2 + y 2 /b 2 = 1, за умови a b > 0. З рівняння випливає, що для всіх точок еліпса │x│≤ a та │у│≤ b. Значить, еліпс лежить у прямокутнику зі сторонами 2а та 2Ь. Точки перетину еліпса з осями канонічної системи координат, що мають координати (а, 0), (-а, 0), (0, b) та (0, -b), називаються вершинами еліпса. Числа а і b називаються відповідно великої та малої півосі. З 1. Осі канонічної системи координат є осями симетрії еліпса, а початок канонічної системи - його центром симетрії. При кожному такому, що I х I< а, найдутся две точки эллипса с ординатами ±b√1-x 2 /a 2 и две точки окружности с ординатами ±a√1-x 2 / а 2 Пусть точке эллипса соответствует точка окруж­ности с ординатой того же знака. Тогда отношение ординат соответствующих точек равно b/a. Итак, эллипс получается из окружности таким сжатием ее к оси абсцисс, при котором ординаты всех точек уменьшаются в одном и том же отношении b/a. С эллипсом связаны две замечательные точки, называемые его фокусами. Пусть по определению с 2 =a 2 – b 2 и c≥0.Фокусами называются точки F 1 и F 2 с координатами (с, 0) и (-с, 0) в канонической системе координат. Отношение e=c/a называется эксцентриситетом эллипса. Отметим, что < 1. С2. Расстояние от произвольной точки М (х, у), лежащей на эллипсе, до каждого из фокусов является линейной функцией от ее абсциссы х: R 1 =│F 1 M│=a- x, r 2 =│F 2 M│=a+ x. С3. Для того чтобы точка лежала на эл­липсе, необходимо и достаточно, чтобы сумма ее расстояний до фокусов равнялась большой оси эллипса 2а. С эллипсом связаны две замечательные прямые, называемые его директрисами. Их уравнения в канонической системе коор­динат x=a/ , x=-a/ . С4. Для того чтобы точка лежала на эллипсе, необходимо и достаточно, чтобы отношение ее рас­стояния до фокуса к расстоянию до соответствующей ди­ректрисы равнялось эксцентриситету эллипса . Уравнение касательной, проходящая через точку M 0 (x 0 ;y 0) имеет вид: xx 0 /a 2 + yy 0 /b 2 = 1. С5. Касательная к эллипсу в точке M 0 (x 0 ;y 0) есть биссектриса угла, смежного с углом между от­резками, соединяющими эту точку с фокусами

22. Канонічне рівняння гіперболи. Властивості.Гіперболою ми назвали лінію, яка в деякій декартовій прямокутній системі координат визначається канонічним рівнянням x 2 /a 2 - y 2 /b 2 = 1. З цього рівняння видно, що для всіх точок гіперболи │x│≥a, тобто. всі точки гіперболи лежать поза вертикальною смугою ширини 2а. Вісь абсцис канонічної системи координат перетинає гіперболу в точках з координатами (а, 0) та (-а, 0), які називають вершинами гіперболи. Вісь ординат не перетинає гіперболу. Таким чином, гіпербола складається із двох не пов'язаних між собою частин. Вони називаються її гілками. Числа а і Ь називаються відповідно речовинної та уявної півосями гіперболи.C1. Для гіперболи осі канонічної системи координат є осями симетрії, а початок канонічної системи – центром симетрії. Для дослідження форми гіперболи знайдемо її перетин з довільною прямою, яка проходить через початок координат. Рівняння прямої візьмемо у вигляді у = кх, оскільки ми вже знаємо, що пряма х = 0 не перетинає гіперболу. Абсциси точок перечення перебувають із рівняння x 2 /a 2 – k 2 x 2 /b 2 = 1. Тому, якщо b 2 – a 2 k 2 >0, то x = ± ab / √b 2 – a 2 k 2 . Це дозволяє вказати координат точок перетину (аb/u, аbк/u) та (-аb/і,-аbк/u), де позначено u = (b 2 - а 2 до 2) 1/2 .

Прямі з рівняннями у = Ьх/а та у = -bх/а в канонічній системі координат називаються асимптотами гіперболи. C2. Твір відстаней від точки гіперболи до асимптоту постійно і дорівнює а 2 b 2 /(а 2 + b 2). C3. Якщо точка рухається по гіперболі так, що її абсцис по абсолютній величині необмежено зростає, то відстань від точки до однієї з асимптотів прагне до нуля. Введемо число с, поклавши з 2 = а 2 + b 2 і > 0. Фокусами гіперболи називаються точки F 1 u F 2 c координатами (c, 0) і (-с, 0) в канонічній системі координат. Ставлення е = с/а, як й у еліпса, називається ексцентриситетом. У гіперболі е > 1. C4. Відстані від довільної точки М (х, у) на гіперболі до кожного з фокусів наступним чином залежать від її абсциси х: r 1 = F 1 M│=│a-ex│, r 2 = F 2 M│=│a +ex│. C5. Для того, щоб точка М лежала на гіперболі, необхідно і достатньо, щоб різниця її відстаней до фокусів по абсолютній величині дорівнювала речової осі гіперболи 2а. Директрисами гіперболи називаються прямі, що задаються в канонічній системі координат рівняннями x = a / x = -a /. C6. Для того, щоб точка лежала на гіперболі, необхідно і достатньо, щоб відношення її відстані до фокусу до відстані до відповідної директриси дорівнювало ексцентриситету. Рівняння дотичної до гіперболи в точці М 0 (х 0, у 0), що лежить на ній має вигляд: xx 0 / a 2 - yy 0 / b 2 = 1. C7. Дотична до гіперболи в точці М 0 (х 0, у 0) є бісектриса кута між відрізками, що з'єднують цю точку з фокусами.

23. Канонічне рівняння параболи. Властивості.ми назвали лінію, яка у деякій декартовій прямокутній системі координат визначається канонічним рівнянням y 2 =2рх, за умови р > 0. З рівняння випливає, що для всіх точок параболи x≥0. Парабола проходить через початок канонічної системи координат. Ця точка називається вершиною параболи. Фокусом параболи називається точка F з координатами (р/2, 0) у канонічній системі координат. Директрисою параболи називається пряма з рівнянням х=-р/2 у канонічній системі координат. C1. Відстань від точки М (х, у), що лежить на параболі, до фокусу дорівнює r=x+p/2. C2. Для того, щоб точка М лежала на параболі, необхідно і достатньо, щоб вона була однаково віддалена від фокусу і від директриси цієї параболи. Параболе приписується ексцентриситет е = 1. З цієї угоди формула r/d=e правильна й у еліпса, й у гіперболи, й у параболы. Виведемо рівняння дотичної до параболі в точці М 0 (х 0, y 0), що лежить на ній, має вигляд yy 0 = p (x + x 0). C3 Відносна до параболи в точці М є бісектриса кута, суміжного з кутом між відрізком, який з'єднує М з фокусом, і променем, що виходить з цієї точки в напрямку осі параболи.

24. Алгебраїчні лінії.Задати алгебраїчні лінії на площину, означає деяке ур-е алгебри виду F (x, y) = 0 і деяка афінна система координат кола на площині, тоді ті і тільки ті M (x, y), координати яких задовольняють рівнянню, вважають лежами на даному рівнянні. Аналогічно задаються рівняння для поверхні в просторі. Задати алгебр. )=0(z) є рівнянням площини. При цьому ми вважаємо, що два ур-ія визначають одну і ту ж лінію або поверхню т. і т. т., коли одна з цих ур-ій виходить з іншого множенням на деякий множник лямбда 0.

25. Поняття поверхні алгебри.Вивчення довільних множин точок-завдання абсолютно неосяжна. тут мається на увазі найбільша з сум, що фактично входять до рівняння, тобто. передбачається, що після приведення подібних членів знайдеться хоча б одне доданок з ненульовим коефіцієнтом, що має таку суму показників. Це визначення означає, зокрема, що сфера, рівняння якої в декартовій прямокутній системі координат має вигляд ( + ( + ( = ) є алгебраїчною поверхнею другого порядку. Теорема. Алгебраїчна поверхня порядку p в будь-якій декартовій системі координат) може бути задана рівнянням виду + ​​... + = 0 порядку p.

26. Циліндричні поверхні 2-го порядку.Нехай площину П дана деяка пряма 2-го порядку і зв'язка паралельних прямих d таких, що для будь-якого d не паралельного П, тоді безліч всіх точок простору належать тим прямим зв'язки, які перетинають лінію γ називається напрямними, а прямі перетинають φ - утворюють. Виведемо рівняння циліндричної поверхні щодо афінної системи координат. Нехай у деякій площині П лежить деяка К, рівняння якої F(x,y)=0, має напрямок а(а 1 а 2 а 3) d паралельний а. Точка М(x,y,z) лежить на якійсь твірній, а N(x'y'o) – точка перетину цієї твірної з площиною П. Вектор MN буде колінеарен з ta отже MN=ta , x'=x+ a 1 t; y'=y+a 2 t; 0=z+a 3 t отже t= -z/a 3 тоді x'=x- (a 1 z)/a 3 ; y'=y- (a 2 z)/a 3 F(x'y')=0 F(x- (a 1 z)/a 3 ; y-(a 2 z)/a 3. Тепер ясно, що рівняння F(x,y)=0 є рівняння циліндра з утворюючими паралельними осі Оy, а F(y,z)=0 з утворюючими паралельними осі Ох. 0 а 2 =0 а 3 ≠0 F(x,y)=0, тому скільки ліній другого порядку, стільки і циліндрів Поверхні: 1. Еліптичний циліндр x 2 /a 2 +y 2 /b 2 =1 2. циліндр x 2 /a 2 -y 2 /b 2 =1 3. Параболічний циліндр y 2 =2πx 4. Пара площин, що перетинаються x 2 /a 2 -y 2 /b 2 =0 5. Пара паралельних площин x 2 /a 2 =1

27. Канонічні поверхні 2-го порядку.Поверхня, на якій є точка М о, що має ту властивість, що разом з кожною точкою М о ≠ M містить пряму (М про М), така поверхня називається канонічною або конусом. Мо - вершина конуса, а прямі - її утворюють. Функція F(x,y,z)=0 називається однорідною, якщо F(tx,ty,tz)=φ(t) F(x,y,z), де φ(t) – функція від t. Теорема. Якщо F(x,y,z) однорідна функція, то поверхня, що визначається цим рівнянням, є канонічна поверхня з вершиною на початку координат. Док-во. Нехай задана афінна система координат і від неї встановлено канонічне рівняння з центром F(x,y,z)=0. Розглянемо рівняння з вершиною в точці O M (x, y, z) = 0, тоді всяка точка OM з F матиме вигляд M 1 (tx, ty, tz) на канонічній поверхні. M o M(x,y,z), якщо задовольняє поверхні, то F(tx,ty,tz)=0 функція однорідна φ(t) F(x,y,z)=0 отже канонічна поверхня. Криві 2-го порядку явл перерізами в кінцевій поверхні площин x 2 +y 2 -z 2 =0/ При перерізі канонічних поверхонь площинами отримуємо в перерізі наступні лінії: а) площину проходить через точку або пара прямих, що злилися, і пара перетинаються прямих. Б) площина не проходить через вершину конуса, отже отримуємо в перерізі або еліпс, або гіперболу, або параболу.

28. Поверхні обертання.Нехай у 3-мірному просторі дано декартовий репер. Площина П проходить через Oz, у площині Ozy задана γ і кут xOy=φ має вигляд u=f(z). Візьмемо точку M з γ щодо репера Oxyz. γ – описане коло γМ по всіх точках М із γ називається відображенням. Перерізом поверхні обертання площини, що проходить через вісь обертання, називається меридіаном. Перерізом поверхні обертання площини перпендикулярної осі обертання називається паралельною. Рівняння поверхні обертання x 2 + y 2 = f 2 (z) - Рівняння поверхні обертання. 1) Якщо кут φ=0, то γ лежить у площині xOz, x 2 +y 2 =f 2 (z) 2) γ лежить у площині xOy та рівняння її y=g(x), тоді y 2 +z 2 = g 2 (x) 3) γ лежить у площині yOz та рівняння її z=h(y), тоді z 2 +x 2 =h 2 (y)

29. Еліпсоїди.Поверхня, що виходить при обертанні еліпса навколо осей симетрії. Направивши вектор е 3 спочатку уздовж малої осі еліпса, а потім уздовж великої осі, ми отримаємо ур-я еліпса в наступних видах: . У силу формули ур-я відповідних поверхонь обертання будуть = 1 (a> c). Поверхні з такими ур-ями називаються стисненим (а) і втягнутим (б) еліпсоїдами обертання.

Кожну точку М (x, y, z) на стислому еліпсоїді обертання зрушимо до площини y=0 так, щоб відстань від точки до цієї площини зменшувалося в постійному для всіх точок відношенні λ<1. После сдвига точка попадет в положение M’ (x’, y’, z’) , где x’=x, y’=λy, z’=z. Таким образом, точки эллипсоида вращения переходят в точки поверхности с ур-ем де b=λa. Поверхня, що у деякій декартової системі координат має це ур-е, називається еліпсоїдом (в). Якщо випадково виявиться, що b=c ми отримаємо знову еліпсоїд обертання, але вже витягнутий. Еліпсоїд, так само, як і еліпсоїд обертання, з якого він отриманий, являє собою замкнуту обмежену поверхню. З рівняння видно, що початок канонічної системи координат – центр симетрії еліпсоїда, а координатні площини – його площини симетрії. Еліпсоїд можна отримати зі сфери x 2 +y 2 +z 2 =a 2 стисками до площин у=0 і z =0 у відношеннях λ=b/a і μ=с/а.

30. Гіперболоїди.Однопорожнинний гіперболоїд обертання- Це поверхня обертання гіперболи навколо тієї осі, яка її не перетинає. За формулою ми отримуємо рівняння цієї поверхні (рис. 48). В результаті стиснення однопорожнинного гіперболоїда обертання до площини y=0 ми отримуємо однопорожнинний гіперболоїд з ур-ем . Цікаве св-во однопорожнинного гіперболоїда – наявність у нього прямолінійних утворюючих. Так називаються прямі лінії, які всі точки лежать на поверхні. Через кожну точку одностатева гіперболоїда проходять дві прямолінійні утворюючі, ур-я яких можна отримати наступним чином. Ур-е (8) можна переписати як . Розглянемо пряму лінію з ур-ями μ =λ , λ =μ (9), де λ і μ – деякі числа (λ 2 +μ 2 ≠0). Координати кожної точки прямої задовольняють обом ур-ям, отже і ур-ю (8), яке виходить почленным перемноженням. Тому які б не були λ і μ пряма з ур-ями (9) лежить на однопорожнинній гіперболоїд. Таким чином, система (9) визначає сімейство прямолінійних утворюючих. Якщо разом з гіперболою ми обертатимемо її асимптоти, то вони опишуть прямий круговий конус, званий асимптотичним конусом гіперболоїда обертання. При стисненні гіперболоїда обертання його асимптотичний конус стискається в асимптотичний конус загального однопорожнинного гіперболоїду.

Двопорожнинний гіперболоїд.Двопорожнинний гіперболоїд обертання – це поверхня, що отримується обертанням гіперболи навколо тієї осі, що її перетинає. За формулою ми отримуємо ур-е двопорожнинного гіперболоїду обертання В результаті стиснення цієї поверхні до площини y=0 виходить поверхня з ур-ем (12). Поверхня, яка в деякій декартовій прямокутній системі координат має ур-е виду (12), називає двопорожнинним гіперболоїдом (рис. 49). Двом гілкам гіперболи тут відповідають дві незв'язані між собою частини («порожнини») поверхні. Асимптотичний конус двопорожнинного гіперболоїда визначається так само, як і для однопорожнинного.

31. Параболоїди.Еліптичний параболоїд.Обертаючи параболу x 2 =2pz навколо осі симетрії, ми отримуємо поверхню з ур-ем x 2 +y 2 =2pz. Вона називається параболоїдом обертання. Стиснення до площини y=0 переводить параболоїд обертання поверхню, ур-е якої наводиться до виду 2z (14). Поверхня, яка має таке ур-е в деякій декартовій прямокутній системі координат, називається еліптичним параболоїдом. Гіперболічний параболоїд.За аналогією з ур-ем (14) ми можемо написати ур-е Поверхня, яка має таке ур-е в деякій декартовій прямокутній системі координат, називається гіперболічним параболоїдом. З канонічного рівняння z = x 2 /a 2 - y 2 /b 2 гіперболічного параболоїда випливає, що площини Охz та Оуz є площинами симетрії. Вісь Оz називається віссю гіперболічного параболоїда. , b * = b√h , а при h<0 – сопряженные гиперболы для гипербол x 2 /a *2 - y 2 /b *2 =1 с полуосями a * = a√-h, b * =b√-h. Используя эти формулы, легко построить «карту» гипер­болического параболоида. Как и в случае эллиптическо­го параболоида, можно убедиться в том, что гиперболический па­раболоид может быть получен путем параллельного перемещения параболы, представляющей собой сечение плоскостью Охz (Оуz), когда ее вершина движется вдоль параболы, являющейся сече­нием параболоида плоскостью Оуz (Охz).

32. Комплексні числа. Алгебраїчна форма комплексного числа.Комплексним числом називається вираз виду z = х + iу, де х і у – дійсні числа, i – уявна одиниця. Число х називається дійсною частиною числа z і позначається Rе(z), а число у - уявною частиною числа z і позначається Im(z). Числа z = х + iу та z = х - iу називаються сполученими. Два комплексні числа z 1 = х 1 + iу 1 і z 2 = х 2 + iу 2 називаються рівними, якщо рівні їх дійсні та уявні частини. Зокрема, i 2 =-1. Арифметичні операції на безлічі комплексних чисел визначаються в такий спосіб. 1. Додавання: z1+z2=x1+x2+i(y1+y2); 2. Віднімання: z 1 -z 2 = x 1 - x 2 + i (y 1 - y 2); 3. Множення: z 1 z 2 = (x 1 x 2 -y 1 y 2) + i (x 1 y 2 + x 2 y 1); Поділ: z 1 /z 2 = ((x 1 x 2 + y 1 y 2) + i (x 2 y 1 - x 1 y 2)) / x 2 2 + y 2 2 . Для подання к.ч. служать точки координатної площини Оху. Площина називається комплексною, якщо кожному к.ч. z = х + iу ставиться у відповідність точка площини z(х, у), причому ця відповідність взаємно однозначна. Осі Ох і Оу, на яких розташовані дійсні числа z=x+0i=x і чисто уявні числа z=0+iy=iy, називаються відповідно до дійсної і уявної осями

33. Тригонометрична форма комплексного числа. Форма Муавра.Якщо речову xі гадаю yчастини комплексного числа виразити через модуль r = | z| і аргумент j(x=r cosj,y=r sinj), то всяке комплексне число z, крім нуля, можна записати в тригонометричній формі z = r (cosj + isinj). Особливості тригонометричної форми: 1) перший множник невід'ємне число, r³0; 2) записані косинус і синус одного й того ж аргументу; 3) уявна одиниця помножена на sinj. Також може бути корисною показоваформа запису комплексних чисел, тісно пов'язана з тригонометричною через формулу Ейлера: z = re i j. Де e i j – розширення експонентів для випадку комплексного показника ступеня. Формула, що дозволяє будувати в ступінь комплексне число, представлене в тригонометричній формі. Формула Муаврамає вигляд: z = n = r n (cosnj + isin nj), де r- модуль, а j – аргумент комплексного числа.

34. Операції над многочленами. Алгоритм Евкліда.Загальний вид рівняння n-го ступеня: 0 x n + a 1 x n -1 + ... + a n -1 x + a n = 0 (1). Визначається набір коефіцієнтів. (а 0, а 1, ..., a n -1, a n)-довільні комплексні числа. Розглянемо ліву частину (1): a 0 x n + a 1 x n -1 + ... + a n -1 x + a n - багаточленів n-ого ступеня. Два багаточлени f(x) і g(x) будемо вважати рівними або тотожно рівними, якщо рівні коефіцієнти при однакових ступенях. Будь-який многочлен визначається набором коефіцієнтів.

Визначимо операції додавання та множення над многочленами: f(x)=a 0 +a 1 x+…+a n x n ; g(x)=b 0 +b 1 x+…+b s x s n³s; f(x)+g(x)=c 0 +c 1 x+…+c n x n -1 +c n; c i = a i + b i якщо i = 0,1 ... n; i>s b i =0; f(x)*g(x)=d 0 +d 1 x+…+d n + s x n + s; ; d 0 = a 0 b 0; d 1 =a 0 b 1 +a 0 b 1; d 2 =a 0 b 2 +a 1 b 1 +a 2 b 0 . Ступінь добутку багаточленів дорівнює сумі та операції мають властивості: 1) a k + b k = b k + a k ; 2) (a k + b k) + c k = a k + (b k + c k); 3). Багаточлен f(x) називається оберненим (x), якщо f(x)* (x)=1. У багатьох многочленів операція поділу не можлива. У Евклідовому просторі для многочлена існує алгоритм поділу із залишком. f(x) та g(x)існують r(x)і q(x)визначено однозначно. ; ; f(x)=g(x);; . Ступінь правої частини £ ступеня g(x), а ступінь лівої частини звідси – ми дійшли протиріччя. Доводимо першу частину теореми: . Домножимо g(x) на такий многочлен, щоб старші коефіцієнти множилися.

Після kкроків.

; ; має менший ступінь q(x). Багаточлен q(x)- приватна від f(x), a r(x) -залишок від ділення. Якщо f(x)і g(x)мають дійсні коефіцієнти, то q(x)і r(x)- Теж дійсні.

35. Дільник багаточленів. НОД.Нехай дано два ненульові багаточлени f(x) і j(x)з комплексними коефіцієнтами. Якщо залишок дорівнює нулю, то кажуть, що f(x) поділяється на j(x), якщо j(x) є дільником f(x). Cв-ва многочлена j(x): 1) Багаточлен j(x) буде дільником f(x), якщо існує Y(х) та f(x)= j(x)* Y(х) (1). j(x)-ділитель, Y(х)-приватне. Нехай Y(х) задовольняє (1), тоді з попередньої теореми Y(х) є часткою, а залишок дорівнює 0. Якщо(1) виконується, то j(x)-ділитель, звідси j(x)<= степени f(x). Основні св-ва ділимості многочлена: 1); 2 f(x) та g(x) діляться на j(х), то діляться на j(x); 3) якщо; 4)якщо f 1 (x). 5) кожен многочлен ділиться на будь-який багаточлен нульового ступеня f(x)=a 0 x n +a 1 x n -1 +a n c; 6) якщо f(x):j(x), то f(x): cj(x); 7) Многочлен cf(x) і тільки вони будуть дільниками многочлена j(х), що мають такий самий ступінь, що і f(x); 8) f (x): g (x) і g (x): f (x), то g (x) = cf (x); 9) Будь-який дільник одного з f(x) і cf(x), с¹0 буде дільником для іншого. Опр-ня:Найбільший спільний дільник (НДД). Багаточлен j(х) називатимемо НОД f(x) і g(x), якщо він ділить кожного з них. Багаточлени нульового ступеня завжди є НОД та є взаємопростими. НОД відмінних від нуля багаточленів f(x) і g(x) називається d(x), який явл. спільним дільником і ділиться на будь-який інший дільник та загальний цих багаточленів. НОД f (x) і g (x) = (f (x): g (x)). Алгоритм знаходження НОД:Нехай ступінь g(x)<= степениf(x) f(x)=g(x)g 1 (x)+r 1 (x) g(x)=r 1 (x)q 2 (x)+r 2 (x)

r k-2 (x) = r k-1 (x) q k (x) + r k (x)

r k-1 (x) = r 2 (x) + q k (x) r k (x)-НОД. Доведемо. r k (x) дільник r k -1 (x)® він дільник r k -2 (x)…® він дільник g(x)® дільник f(x). g(x)g 1 (x) ділиться на r k (x)® f(x)- g(x) g 1 (x) ділиться на r k (x)® r 1 (x) ділиться на r k (x)® r 2 (x) ділиться на r k (x) ® ... q k (x): r k (x) ділиться на r k (x).

Для двох площин можливі наступні варіанти взаємного розташування: вони паралельні або перетинаються прямою лінією.

Зі стереометрії відомо, що дві площини паралельні, якщо дві прямі, що перетинаються, однієї площини відповідно паралельні двом пересічним прямим іншої площини. Цю умову називають ознакою паралельності площин.

Якщо дві площини є паралельними, то вони перетинають якусь третю площину паралельним прямим. Виходячи з цього у паралельних площин Рі Qїх сліди є паралельними прямими (рис. 50).

У випадку, коли дві площини Рі Qпаралельні осі х, їх горизонтальні та фронтальні сліди при довільному взаємному розташуванні площин будуть паралельними осі х, тобто взаємно паралельними. Отже, за таких умов паралельність слідів є достатньою ознакою, що характеризує паралельність самих площин. Для паралельності подібних площин потрібно переконатися в паралельності та профільних їх слідів P w і Q w. Площини Рі Qна малюнку 51 паралельні, а на малюнку 52 вони не паралельні, незважаючи на те, що P v || Q v , і P h у || Q h.

У разі коли площини паралельні, горизонталі однієї площини паралельні горизонталям іншої. Фронталі однієї площини при цьому повинні бути паралельними до фронталів іншої, так як у цих площин паралельні однойменні сліди.

Для того, щоб побудувати дві площини, що перетинаються між собою, необхідно знайти пряму, по якій перетинаються дві площини. Для побудови цієї прямої достатньо знайти дві точки, що належать їй.

Іноді, коли площина задана слідами, знайти ці точки легко за допомогою епюру і без додаткових побудов. Тут відомий напрямок визначається прямою, і її побудова ґрунтується на використанні однієї точки на епюрі.

Пряма, паралельна площині

Може бути кілька положень прямої щодо деякої площини.

Розглянемо ознаку паралельності прямої та площини. Пряма є паралельною площині, коли вона паралельна будь-якій прямій, що лежить у цій площині. На малюнку 53 пряма АВпаралельна площині Р, так як вона паралельна прямий MN, що лежить у цій площині.

Коли пряма паралельна площині Р, в цій площині через якусь її точку можна провести пряму, паралельну даній прямій. Наприклад, на малюнку 53 пряма АВпаралельна площині Р. Якщо через точку М, що належить площині Рпровести пряму NM, паралельну АВ, то вона лежатиме в площині Р. На тому ж малюнку пряма CDне паралельна площині Р, тому що пряма KL, яка паралельна CDі проходить через точку Дона площині Р, не лежить у цій площині.

Пряма площина, що перетинає

Для знаходження точки перетину прямої та площини необхідно побудувати лінії перетину двох площин. Розглянемо пряму I та площину Р (рис. 54).

Розглянемо побудову точки перетину площин.

Через деяку пряму I необхідно провести допоміжну площину Q(Проекцію). Лінія II визначається як перетин площин Рі Q. Крапка До, яку потрібно побудувати, перебуває у перетин прямих I і II. У цій точці пряма I перетинає площину Р.

У цій побудові основним моментом рішення є проведення допоміжної площини Q, що проходить через цю пряму. Можна провести допоміжну площину загального стану. Однак показати на епюрі площину, що проеціює, використовуючи дану пряму, простіше, ніж провести площину загального положення. При цьому через будь-яку пряму можна провести площину, що проектує. З цього допоміжна площина вибирається проецирующей.

Нехай дані дві площини

Перша площина має нормальний вектор (А 1 ;В 1 ;З 1), друга площину (А 2 ;В 2 ;З 2).

Якщо площини паралельні, вектори і коллинеарны, тобто. = l для деякого числа l. Тому

─ умова паралельності площини.

Умова збігу площин:

,

тому що в цьому випадку помножуючи друге рівняння на l = отримаємо перше рівняння.

Якщо умова паралельності не виконується, площини перетинаються. Зокрема, якщо площини перпендикулярні, то перпендикулярні вектори . Тому їх скалярне твір дорівнює 0, тобто. = 0, або

А 1 А 2 + В 1 В 2 + З 1 З 2 = 0.

Це необхідна та достатня умова перпендикулярності площин.

Кут між двома площинами.

Кут між двома площинами

А 1 х + 1 у +С 1 z + D 1 = 0,

А 2 х + В 2 у + С 2 z + D 2 = 0

це кут між їх нормальними векторами і тому

cosj = =
.

Пряма у просторі.

Векторно-параметричне рівняння прямої.

Визначення. Напрямний вектор прямийназивається будь-який вектор, що лежить на прямий або паралельний до неї.

Складемо рівняння прямої, що проходить через точку М 0 (х 0 ; у 0 ; z 0) і має напрямний вектор = (а 1; 2; 3).

Відкладемо з точки М 0 вектор . Нехай М(х;у;z) ─ довільна точка даної прямої, а ─ її радіус- вектор точки М 0 . Тоді , тому . Це рівняння називається векторно-параметричним рівнянням прямої.

Параметричні рівняння прямої.

У векторно-параметричному рівнянні прямий перейде до координатних співвідношень (х; у; z) = (х 0; у 0; z0) + (а 1; а 2; а 3) t. Звідси отримуємо параметричні рівняння прямої

х = х 0 + а 1 t,

у = у 0 + а 2 t, (4)

Канонічні рівняння прямої.

З рівнянь (4) виразимо t:

t = , t = , t = ,

звідки отримуємо канонічні рівняння прямої

= = (5)

Рівняння прямої, що проходить через дві дані точки.

Нехай дані дві точки М 1 (х 1 ; у 1 ; z 1) і М 2 (х 2 ; у 2 ; z 2). Як напрямний вектор прямий можна взяти вектор = (х 2 - х 1; у 2 - у 1; z 2 - z 1). Оскільки пряма проходить через точку М 1 (х 1 ;у 1 ;z 1), то її канонічні рівняння відповідно до (5) запишуться у вигляді

(6)

Кут між двома прямими.

Розглянемо дві прямі з напрямними векторами = (а 1; а 2; а 3) і .

Кут між прямими дорівнює куту між їх напрямними векторами, тому

cosj = =
(7)

Умови перпендикулярності прямих:

а 1 у 1 + а 2 у 2 + а 3 у 3 = 0.

Умови паралельності прямих:

l,

. (8)

Взаємне розташування прямих у просторі.

Нехай дані дві прямі
і
.

Очевидно, що прямі лежать в одній площині і тоді, коли вектори , і компланарні, тобто.

= 0 (9)

Якщо (9) перші два рядки пропорційні, то прямі паралельні. Якщо всі три рядки пропорційні, прямі збігаються. Якщо умова (9) виконано та перші два рядки не пропорційні, то прямі перетинаються.

Якщо ж
¹ 0, то прямі є схрещуються.

Завдання на пряму та площину у просторі.

Пряма як перетин двох площин.

Нехай задані дві площини

А 1 х + 1 у +С 1 z + D 1 = 0,

А 2 х + В 2 у + С 2 z + D 2 = 0

Якщо площини є паралельними, то порушується умова

.

Нехай, наприклад, ¹ .

Знайдемо рівняння прямої, якою перетинаються площини.

Як напрямний вектор шуканої прямої можна взяти вектор

= × = =
.

Щоб знайти точку, що належить прямій, фіксуємо деяке значення

z = z 0 та вирішуючи систему

,

отримуємо значення х = х 0, у = у 0. Отже, шукана точка М (х 0; у 0; Z0).

Шукане рівняння

.

Взаємне розташування прямої та площини.

Нехай задано пряму х = х 0 + а 1 t, y = y 0 + a 2 t, z = z 0 + a 3 t

та площина

А 1 х + 1 у +С 1 z + D 1 = 0.

Щоб знайти загальні точки прямої та площини, необхідно вирішити систему їх рівнянь

А 1 (х 0 + а 1 t) + B 1 (y 0 + a 2 t) + C 1 (z 0 + a 3 t) + D 1 = 0,

(A 1 a 1 + B 1 a 2 + C 1 a 3)t + (A 1 x 0 + B 1 y 0 + C 1 z 0 + D 1) = 0.

Якщо А 1 а 1 + У 1 а 2 + З 1 а 3 ¹ 0, то система має єдине рішення

t = t 0 = -
.

У цьому випадку пряма і площина перетинаються в єдиній точці М 1 (х 1; у 1; z 1), де

х 1 = х 0 + а 1 t 0, y 1 = y 0 + a 2 t 0, z 1 = z 0 + a 3 t 0.

Якщо А 1 а 1 + В 1 а 2 + С 1 а 3 = 0, А 1 x 0 + В 1 y 0 + С 1 z 0 + D 1 ¹ 0, то пряма і площина немає спільних точок, тобто . паралельні.

Якщо ж А 1 а 1 + В 1 а 2 + С 1 а 3 = 0, А 1 x 0 + В 1 y 0 + С 1 z 0 + D 1 = 0, то пряма належить площині.

Кут між прямою та площиною.