Завдання з теореми піфагору. Розв'язання задач «Теорема Піфагора. Спрощений доказ Евкліда

Як символ вічного союзу
Як вічної дружби знак простий
Зв'язала ти, гіпотенуза,
Навіки катети із собою.
Приховувала таємницю ти,
Не скоро з'явився мудрий грек
І теорема Піфагора
Тебе прославив він навіки.

Цілі:

систематизувати, узагальнити знання та вміння щодо застосування теореми Піфагора при вирішенні завдань, показати їх практичне застосування;
сприяти розвитку математичного мислення;
виховувати пізнавальний інтерес.

Обладнання:портрет Піфагора, креслення та макет телевізійної вежі, таблиці для усного рахунку.

ХІД УРОКУ

1. Організаційний момент

2. Робота з готовим кресленням

– Чи можна за цими умовами знайти площу трикутника?
- Яке ще питання можна поставити до цих завдань?
– Знайдіть площі трикутників.
– Яку теорему ви застосовували для знаходження сторін трикутників?
– Як називаються трикутники 1, 4 та 3? (Піфагорові)
– Наведіть приклади таких трикутників.
– Чи є прямокутним трикутник із сторонами 6, 29 та 25? Яку теорему ви використали для підтвердження?

У цей час 4 учні працюють самостійно.

1. Знайдіть площу прямокутника, якщо його діагональ 10 см і утворить зі стороною кут, що дорівнює 30 о. (25√3 см 2)

2. У прямокутній трапеції основи дорівнюють 22 см і 6 см, велика бічна сторона – 20 см. Знайдіть площу трапеції. (224 см 2)

3. Самостійна робота 3-х рівнів за готовими кресленнями.

1 варіант

1) а = 3 см в = 4 см з -?	2) з = 10 см в = 8 см а -?	3) а = 10 см в = 5 см SΔ -?

2 варіант

а = 0,3 см
з = 0,5 см
в -?

AD = 3 см
ВD -?

BD = 10 см
AD = 8 см
Sпр. -?

3 варіант

Самоперевірка робіт з допомогою таблиці відповідей.

4. Розв'язання задач

Знайдіть бік і площу ромба, якщо його діагоналі дорівнюють 10 см і 24 см.

Дано: АВСD - ромб, ВD = 10 см, АС = 24 см
Знайти: АВ та S ромба

1. ВD перпендикулярна АС за якістю діагоналей ромба.
2. Розглянемо трикутник АВО: О = 90, ВО = 5 см, АВ = 12 см. За теоремою Піфагора АВ = ВО 2 + АО 2 АВ = 13 см
3. S = 1/2 * 10 * 24 = 120 см 2 .

Відповідь: АВ = 13 см, S = 120 см 2

Знайдіть площу трапеції АВСD з основами АВ і СD, якщо АВ = 10 см, ВС = DА = 13 см, СD = 20 см.

Дано: АВСD – трапеція, АВ та СD основи, АВ = 10
СD = 20 см, НД = DA = 13 см
Знайти: S?

1. Проведемо висоту АН та розглянемо трикутник АDН: Н = 90, АD = 13 cм,
DН = (20 - 10): 2 = 5 см.
АН = 13 2 - 5 2 = 12 см

2. S = (20 + 10): 2 * 12 = 180 см 2

Відповідь: S = 180см 2 .

– Які формули ви використовували під час вирішення завдань? А які формули для обчислення площі трикутника ви знаєте?

Сьогодні Маша Л. познайомить вас із формулою для обчислення площі рівностороннього трикутника з його боку. (Учениця самостійно готувала завдання будинок.)

S = а 2 * √3/4, де а – сторона трикутника.

Розв'язання задачі застосування цієї формули.

Трикутник складається із 4-х трикутників зі стороною 1см. Скільки рівносторонніх трикутників ви бачите? Чому дорівнює площа цього трикутника?

Розв'язання задачі: 5 рівносторонніх трикутників, а = 2 см, тоді S = √3 кв.

5. Практичне завдання

Звіт учнів про виконану роботу: У селищі є телевежа, висота якої 124 м. Щоб вона стояла вертикально, потрібні розтяжки, вони дещо рівніві. Нам було поставлено завдання з'ясувати, скільки метрів троса буде потрібно для 4 нижніх розтяжок.

Оскільки розтяжки однакової довжини, то завдання звелося до знаходження довжини однієї розтяжки. І тому ми виділили прямокутний трикутник, катетами якого є відстані АС і СВ. Ми дізналися, що трос кріпиться на висоті 40 м (АС = 40 м) та виміряли відстань від основи вежі до кріплення троса на поверхні (СВ = 24 м). По теоремі Піфагора АВ = 46,7 м, отже троса буде потрібно не менше 186,8 м.

Під час звіту демонструється макет телевежі та її малюнок.

6. Підсумок уроку

7. Домашнє завдання

Закінчити урок словами: Говорять, що наука відрізняється від мистецтва тим, що в той час як створення мистецтва вічні, великі твори науки безнадійно старіють. На щастя це не так, теорема Піфагора цьому прикладу, ми застосовували і будемо застосовувати її під час вирішення завдань.

Слайд 2

"Геометрія володіє двома скарбами: один з них - це теорема Піфагора". Йоганн Кеплер

Слайд 3

Закінчіть пропозицію:

Прямокутним трикутником називається трикутник, у якого один із кутів дорівнює ____ 90°

Слайд 4

Сторони трикутника, що утворюють прямий кут, називаються катетами _________

Слайд 5

Сторона трикутника, що лежить проти прямого кута, називається ____________ Закінчіть речення: гіпотенузою

Слайд 6

У прямокутному трикутнику квадрат гіпотенузи дорівнює ____________ Закінчіть речення: сумі квадратів катетів

Слайд 7

Сформульована вище пропозиція зветься ____________ Теорема Піфагора c² = a² + b²

Слайд 8

Якщо у трикутнику квадрат однієї сторони дорівнює сумі квадратів двох інших сторін, то такий трикутник – ____________ Закінчіть речення: прямокутний

Слайд 9

S=½d1 d2 S=a² S=ab S=½ah S=ah Проведіть лінії так, щоб відповідність між фігурою та формулою обчислення її площі була вірною S=½ (a +b)h S=½ ab

Слайд 10

Долина усних завдань Острів Незнайок Полянка Здоров'я Місто Майстрів Фортеця Формул Історична стежка

Слайд 11

Долина усних завдань

Слайд 12

Н S Р 12 см 9 см 15 см? Знайдіть: SP

Слайд 13

До? 12 см 13 cм N М Знайдіть: КN 5 cм

Слайд 14

У? 8 см 17 см А D З Знайдіть: АD 15 cм

Слайд 15

Острів Незнайок

Слайд 16

Завдання індійського математика XII століття Бхаскари "На березі річки зростала тополя самотня. річки.Залишилося три фути всього від стовбура,Прошу тебе, скоро тепер мені скажи:У тополі як велика висота?"

Слайд 17

З однієї точки на землі вирушили в дорогу автомобіль та літак. Автомобіль подолав відстань 8 км, коли літак опинився на висоті 6 км. Який шлях пролетів літак у повітрі з моменту зльоту? Завдання

Слайд 18

8 км 6 км? км

Слайд 19

Вирішуємо за підручником завдання № 494 (стор. 133)

Слайд 20

Полянка Здоров'я

Слайд 21

(580 - 500 р. е.) Піфагор

Слайд 22

Щоб пізнати науки, Піфагор багато подорожував, в одній із грецьких колоній Південної Італії у місті Кротоні він організував гурток молоді з представників аристократії, куди приймалися з великими церемоніями після довгих випробувань. Кожен вступник зрікався свого майна і давав клятву зберігати в таємниці вчення засновника. Так виникла знаменита "Піфагорійська школа".

Слайд 23

Піфагорійці займалися математикою, філософією, науками. Ними було зроблено багато важливих відкриттів в арифметиці та геометрії. Проте, у школі існував Декрет, яким авторство всіх математичних робіт приписувалося Піфагору.

ПЕРЕВІРНА РОБОТА ЗА ТЕМОЮ "ТЕОРЕМА ПІФАГОРА" 8 КЛАС, 1 варіант

У квадраті АВСД сторона АВ дорівнює 6 см. Чому дорівнює діагональ квадрата ВД? Зробіть малюнок

ПЕРЕВІРНА РОБОТА ЗА ТЕМОЮ "ТЕОРЕМА ПІФАГОРА" 8 КЛАС, 2 варіант

Знайдіть гіпотенузу у прямокутному трикутнику з катетами 5 і 12 см. Зробіть малюнок.

Знайдіть катет у прямокутному трикутнику, якщо гіпотенуза дорівнює 17 м, а другий катет дорівнює 8 м. Зробіть малюнок

У квадраті АВСД сторона АВ дорівнює 10 см. Чому дорівнює діагональ квадрата ВД? Зробіть малюнок

______________________________________________________________________________________

У прямокутнику довжина дорівнює 40, а ширина - 9, знайдіть діагональ прямокутника. Зробіть малюнок.

У рівнобедреному трикутнику МРК, основа 20 см, знайдіть висоту РН, проведену до основи трикутника, якщо бічна сторона МР дорівнює 26. Зробіть малюнок.

Знайдіть висоту, опущену на гіпотенузу прямокутного трикутника, якщо його катети дорівнюють 3 см і 5 см. Зробіть малюнок.

ПЕРЕВІРНА РОБОТА ЗА ТЕМОЮ "ТЕОРЕМА ПІФАГОРА" 8 КЛАС, 3 варіант

Знайдіть гіпотенузу у прямокутному трикутнику з катетами 6 та 8 см. Зробіть малюнок.

Знайдіть катет у прямокутному трикутнику, якщо гіпотенуза дорівнює 13 м, а другий катет дорівнює 12 м. Зробіть малюнок

У квадраті АВСД сторона АВ дорівнює 11 см. Чому дорівнює діагональ квадрата ВД? Зробіть малюнок

______________________________________________________________________________________

У прямокутнику довжина дорівнює 40, а ширина - 9, знайдіть діагональ прямокутника. Зробіть малюнок.

ПЕРЕВІРНА РОБОТА ЗА ТЕМОЮ "ТЕОРЕМА ПІФАГОРА" 8 КЛАС, 4 варіант

Знайдіть гіпотенузу у прямокутному трикутнику з катетами 6 та 8 см. Зробіть малюнок.

У квадраті АВСД сторона АВ дорівнює 70 см. Чому дорівнює діагональ квадрата ВД? Зробіть малюнок

______________________________________________________________________________________

У прямокутнику довжина дорівнює 40, а ширина - 9, знайдіть діагональ прямокутника. Зробіть малюнок.

Тема урока

теорема Піфагора

Цілі уроку

Познайомитись школярів з теоремою Піфагора;
Сформулювати та довести теорему Піфагора;
Ознайомити школярів з різними методами застосування цієї теореми під час вирішення завдань;
Формувати навички використання здобутих знань на практиці;
Розвивати увагу учнів, самостійність та інтерес до геометрії;
Виховувати культуру математичної мови.

Завдання уроку

Навчитися використовувати властивості фігур під час виконання завдань.
Вміти застосовувати теорему Піфагора під час розв'язання задач.

План уроку

Короткі біографічні відомості.
Теорема та її доказ.
Цікаві факти.
Вирішення задач.
Домашнє завдання.

Короткі біографічні відомості про Піфагор

На жаль, Піфагор не залишив жодних творів про свою біографію, тому всі відомості про цього великого філософа і знаменитого математика ми можемо дізнатися тільки завдяки спогадам його послідовників, та й то не завжди справедливих. Тому про цю людину ходить багато легенд. Але правда полягає в тому, що Піфагор був великим еллінським мудрецем, філософом та талановитим математиком.

За недостовірними відомостями, великий мудрець і геніальний учений Піфагор народився далеко не бідній сім'ї, на острові Самосеє, приблизно в 570 році до н.е.

Поява на світ геніальної дитини передбачила Пафія. Тому майбутній світил отримав своє ім'я Піфагор, яке означає, що це саме той, про кого оголосила Пафія. Вона передбачила, що народжене немовля в майбутньому принесе чимало користі та добра людям.

Новонароджений був дуже красивий, а сучасним порадував оточуючих своїми видатними здібностями. А так як юне обдарування коротало свої дні серед мудрих старців, то в майбутньому це принесло свої плоди. Ось так завдяки Гермодамант Піфагор полюбив музику, а Ферекід спрямував розум дитини до логосу. Після життя в Самосеї Піфагор відправився в Мілеєт, де відбулося знайомство ще з одним ученим – Фалесом.

Піфагор познайомився зі знаннями всіх відомих на той час мудреців, оскільки був допущений до навчання та пізнання всіх обрядів, які були іншим заборонені. Він намагався докопатися до істини і ввібрати усі накопичені людством знання.

Після двадцяти двох років перебування в Єгипті, Піфагор перебрався до Вавилону, де продовжив своє спілкування з різними мудрецями та магами. Повернувшись наприкінці свого життя в Саміос, він був визнаний одним із наймудріших людей того часу.

теорема Піфагора

Навіть людина, якій поки що не довелося вивчати цю теорему, напевно чула висловлювання про «піфагорові штани». Особливість цієї теореми полягає в тому, що вона стала однією з ключових теорем евклідової геометрії. Вона дозволяє легко знайти та встановити відповідність між сторонами прямокутного трикутника.

Теорема Піфагора запам'яталася кожному школяру як висловлюванням: «піфагорові штани попри всі боки рівні», а своєю простотою і значимістю. І на перший погляд ця теорема хоч і здається простою, але має велике значення, тому що в геометрії вона застосовується практично на кожному кроці.

Теорема Піфагора налічує велику кількість різних доказів і, напевно, є єдиною теоремою, яка має таку величезну кількість доказів. Така різноманітність наголошує на безмежній значущості цієї теореми.

У теоремі Піфагора є геометричні, алгебраїчні, механічні та інші докази.

Про відкриття теореми Піфагором складено багато різних легенд. Але, попри все це, ім'я Піфагора навіки увійшло історію геометрії і міцно злилося з теоремою Піфагора. Адже цей геніальний математик першим надасть доказ теореми, яка носить його ім'я.

Формулювання теореми

Існує кілька формулювань теореми Піфагора.

Евклідова теорема каже нам, що квадрат сторони прямокутного трикутника, проведений над його прямим кутом, дорівнює квадратам на сторонах, що укладають прямий кут.

Завдання: Знайдіть різні формулювання теореми Піфагора. Чи знаходите ви в них якусь відмінність?

Спрощений доказ Евкліда

Незалежно від того, ми беремо метод розкладання або доказ Евкліда, можна використовувати будь-яке розташування квадратів. У деяких випадках можна досягти невеликих спрощень.

Візьмемо квадрат, який побудований на одному з катетів і має також розташування, що і трикутник. Ми бачимо, що продовження сторони, протилежної катету цього квадрата, проходить через вершину квадрата, який побудований на гіпотенузі.

Доказ теореми виглядає досить просто, тому що досить просто порівняти площі фігур з площею трикутника. І ми бачимо, що S трикутника дорівнює ½ площі квадрата, а також ½ S прямокутника.

Найпростіший доказ

Алгебраїчний доказ

До алгебраїчному доказу теореми Піфагора належать елементарні методи, які є в алгебрі. Це способи розв'язання рівнянь у поєднанні зі способом заміни змінних.

Давайте розглянемо цей доказ більш детально. Отже, у нас є прямокутник АВС, у якого прямий кут – С.

Проведіть із цього кута висоту CD.

Відповідно до визначення косинуса кута ми отримаємо:

соsА=AD/AC=AC/AB. Звідси AB*AD=AC2.

І відповідно:

соsВ = BD/BC=BC/AB.

Звідси AB*BD=ВС2.

Тепер складемо ці рівності почленно і побачимо, що AD+DB=AB,

АС2 + ВС2 = АВ (AD + DB) = АВ2.

Ось і все теорема доведена.

Теорему Піфагора вчені "довели" за допомогою мультиків. Група однодумців із інституту ім. Стеклова здобула премію за оригінальний математичний проект, який вони розробили для школярів та вчителів. Вони створили міні уроки з математики, які цей нудний предмет перетворили на дуже цікавий та пізнавальний. Свої незвичайні етюди молоді вчені випустили на дисках та виклали в Інтернеті на загальний огляд.

Запитання

1. Хто такий Піфагор?
2. Про що говорить теорема Піфагора?
3. Які формулювання теореми Піфагора?
4. При вирішенні яких завдань застосовується теорема Піфагора?
5. Де теорема Піфагора знайшла практичне застосування?
6. Які знаєте способи використання теореми Піфагора?

Завдання із застосуванням теореми Піфагора

Використовуючи знання теореми Піфагора, спробуйте розв'язати такі завдання:

З туристичної бази одночасно вийшли дві групи туристів. Перша група пішла на південь та пройшла сім кілометрів, а друга згорнула на захід та пройшла дев'ять кілометрів. Використовуючи знання теореми, знайдіть відстань між групами туристів.

Якщо в прямокутному трикутнику його катет дорівнює 15 см, а гіпотенуза дорівнює 16 см, то чому дорівнює другий катет?

Чому дорівнюватиме площа трапеції, коли її велика основа дорівнює 24 см, менша – 16, а велика діагональ прямокутної трапеції дорівнює 26 см?

Домашнє завдання

Оформіть у вигляді невеликої доповіді кілька доказів теореми Піфагора, які вам зрозумілі та вирішите завдання.

1. Знайдіть діагональ прямокутного трикутника за умови, що сторони його дорівнюють 8 см і 32 см.

2. Знайдіть медіану трикутника, яка проведена до основи, якщо в рівнобедреному трикутнику периметр дорівнює 38 см, а його бічна сторона дорівнює 15 см.

3. У трикутника сторони дорівнюють 10см, 6 см та 9 см. Спробуйте визначити, чи є цей трикутник прямокутним?

Предмети > Математика > Математика 8 клас

(варіант 1)

У прямокутник ABCD суміжні сторони відносяться як 12:5, а його діагональ дорівнює 26 см. Чому дорівнює менша сторона прямокутника?

У паралелограмі ABCD BD = 2√41 см, AC = 26 см, AD = 16 см. Через точку перетину діагоналей паралелограма проведена пряма, перпендикулярна стороні BC . Знайдіть відрізки, на які ця пряма розділила сторону AD.